Question

在一个圆圈上有几十个孔（不到100个），如图．小明像玩跳棋那样，从A孔出发沿着逆时针方向，每隔几个孔跳一步，希望一圈以后能跳回到A孔．他先试着每 隔2孔跳一步，结果只能跳到B孔．他又试着每隔4孔跳一步，也只能跳到B孔．最后他每隔6孔跳一步，正好跳回到A孔．你知道这个圆圈上共有多少个孔吗？

Answer 1

分析：根据“每隔2孔跳一步，结果只能跳到B孔”说明一步跳3个孔，余1个孔，所以总孔数是3的倍数加1；根据“每隔4孔跳一步，也只能跳到B孔”说明一步跳5个孔，余1个孔，所以总孔数是5的倍数加1；既是3的倍数也是5的倍数，因而是15的倍数．这个15的倍数加上1就等于孔数；然后根据“他每隔6孔跳一步，正好跳回到A孔”说明一步跳7个孔正好，所以总孔数是7的倍数；然后验证再100以内，15的倍数加1能被7整除的数，即可得解．

解答：解：如果将孔数减1，那么得数既是3的倍数也是5的倍数，因而是15的倍数．这个15的倍数加上1就等于孔数，而且能被7整除．注意：15被7除余1，所以15×6被7除余6，15的6倍加1正好被7整除．我们还可以看出，15的其他（小于7的）倍数加1都不能被7整除，而15×7=105已经大于100.7以上的倍数都不必考虑，
因此，圆圈上总孔数是：15×6十1=91；
答：圆圈上共有91个孔．

点评：此题考查了哈密尔顿圈与哈密尔顿链，关键是找出规律“将孔数减1，那么得数既是3的倍数也是5的倍数，因而是15的倍数．这个15的倍数加上1就等于孔数，而且能被7整除”．