Question

我们知道1+2+3+…n=

1

2

n（n+1），期中n是自然数．现在来研究一个类似的问题：1×2+2×3+…+n（n+1）=？观察下面三个特殊等式：
1×2=

1

3

（1×2×3-0×1×2）；
2×3=

1

3

（2×3×4-1×2×3）
3×4=

1

3

（3×4×5-2×3×4）
将这三个等式的两边相加，可以得到1×2+2×3+3×4=

1

3

（3×4×5）=20，读完这段材料，请完成下面各空：
（1）1×2+2×3+…+n（n+1）=

 

．
（2）1×2×3+2×3×4+…+n（n+1）（n+2）=

 

．

Answer 1

分析：观察已知的三个等式，得出一般性的规律，根据得出的规律表示出1×2+2×3+…+n（n+1）的每一项，抵消合并后即可得到结果；依此类推得到1×2×3=

1

4

（1×2×3×4-0×1×2×3），2×3×4=

1

4

（2×3×4×5-1×2×3×4），
总结出一般性规律，将各项变形后，去括号合并即可得到结果．

解答：解：（1）1×2+2×3+…+n（n+1），
=

1

3

（1×2×3-0×1×2）+

1

3

（2×3×4-1×2×3）+…+

1

3

[n（n+1）（n+2）-（n-1）n（n+1）]，
=

1

3

n（n+1）（n+2）；

（2）依此类推：1×2×3=

1

4

（1×2×3×4-0×1×2×3），2×3×4=

1

4

（2×3×4×5-1×2×3×4），
所以：1×2×3+2×3×4+…+n（n+1）（n+2），
=

1

4

（1×2×3×4-0×1×2×3）+

1

4

（2×3×4×5-1×2×3×4）+…+

1

4

[（n（n+1）（n+2）（n+3）-（n-1）n（n+1）（n+2）]，
=

1

4

n（n+1）（n+2）（n+3）．
故答案为：

1

3

n（n+1）（n+2）；

1

4

n（n+1）（n+2）（n+3）．

点评：此题考查了规律型：数字的变化类，其中弄清题意，得出一般性的规律是解本题的关键．