Question

黑板上写有1，2，3，…，2011一串数．如果每次都擦去最前面的16个数，并在这串数的最后再写上擦去的16个数的和，直至只剩下1个数，则：
（1）最后剩下的这个数是多少？
（2）所有在黑板上出现过的数的总和是多少？

Answer 1

分析：（1）每操作一次，不影响黑板上所有数的总和，因此最后剩下的和=1+2+3+…+2011，根据高斯求和公式完成即可．
（2）由于倒数第2次操作，黑板上就16个数，总和是2023066，这16个数来源于16×16=256个数，这256个数的和也同上．2011-（16-1）x=256，x=117次显然，从开始，只要117次操作，黑板上就剩256个数．据此依据规则分析即可．①原有2011个数，和2023066
②操作117次，黑板剩余256个数：1873到2011，新出现117个和．这117个和=2023066-（1873+2011）*139/2=1753128
③操作16次，黑板剩余16个数都是新出现，和=2023066
④操作1次，黑板剩余1个数=2023066；
综上，所有出现过的数=2023066+1753128+2023066+2023066=7822326

解答：解：（1）1+2+3+…+2011
=（1+2011）×2011÷2
=2012×2011÷2
=2023066
答：最后剩下的这个数是2023066．

（2）由于倒数第2次操作，黑板上就16个数，总和是2023066，这16个数来源于16×16=256个数，这256个数的和也同上．
2011-（16-1）x=256，x=117次，
显然，从开始，只要117次操作，黑板上就剩256个数．
①原有2011个数，和2023066
②操作117次，黑板剩余256个数：1873到2011，新出现117个和．
这117个和=2023066-（1873+2011）×139÷2=1753128
③操作16次，黑板剩余16个数都是新出现，和=2023066
④操作1次，黑板剩余1个数=2023066
综上，所有出现过的数=2023066+1753128+2023066+2023066=7822326．

点评：完成本题要注意分析题意，然后根据规则分析完成．