Question

已知矩形纸片ABCD，AB=2，AD=1，将纸片折叠，使顶点A与边CD上的点E重合．（1）如果折痕FG分别与AD、AB交与点F、G（如图1），AF=

2

3

，求DE的长； （2）如果折痕FG分别与CD、AB交与点F、G（如图2），△AED的外接圆与直线BC相切，求折痕FG的长．

Answer 1

分析：（1）根据AF，AD的长可以求得DF的长，根据折叠知EF=AF，再根据勾股定理即可计算得到DE的长；
（2）根据直角三角形的外接圆的圆心是斜边的中点，则折痕与AE的交点O即是其外接圆的圆心．设DE=x，根据三角形ADE的中位线定理求得OM=

1

2

x，进一步表示出ON的长．根据直线和圆相切，则圆心到直线的距离等于圆的半径得到AE=2ON，在直角三角形ADE中，根据勾股定理列方程求解．再根据直角三角形FOE相似于直角三角形ADE，求得OF的长，从而根据轴对称的性质得到FG=2OF．

解答：解：（1）在矩形ABCD中，AB=2，AD=1，AF=

2

3

，∠D=90°．
根据轴对称的性质，得EF=AF=

2

3

．
所以DF=AD-AF=

1

3

．
在Rt△DEF中，DE=

3

3

．

（2）设AE与FG的交点为O．
根据轴对称的性质，得AO=EO．
取AD的中点M，连接MO．
则MO=

1

2

DE，MO∥DC．
设DE=x，则MO=

1

2

x，
在矩形ABCD中，∠C=∠D=90°，
所以AE为△AED的外接圆的直径，O为圆心．
延长MO交BC于点N，则ON∥CD．
所以∠CNM=180°-∠C=90°．
所以ON⊥BC，四边形MNCD是矩形．
所以MN=CD=AB=2．所以ON=MN-MO=2-

1

2

x．
因为△AED的外接圆与BC相切，
所以ON是△AED的外接圆的半径．
所以OE=ON=2-

1

2

x，AE=2ON=4-x．
在Rt△AED中，AD²+DE²=AE²，
所以1²+x²=（4-x）²．
解这个方程，得x=

15

8

．（6分）
所以DE=

15

8

，OE=2-

1

2

x=

17

16

．
根据轴对称的性质，得AE⊥FG．
所以∠FOE=∠D=90°．可得FO=

17

30

．
又AB∥CD，所以∠EFO=∠AGO，∠FEO=∠GAO．
所以△FEO≌△GAO．所以FO=GO．
所以FG=2FO=

17

15

．
所以折痕FG的长是

17

15

．

点评：本题通过矩形纸片折叠，利用轴对称图形的性质，在丰富的图形关系中，考查学生获取信息和利用所得信息认识新事物的能力，本题对图形折叠前后的不变量的把握、直线与圆位置关系的准确理解、方程思想的运用意识和策略等具有可再抽象性．