Question

3．由数字1，2，3组成五位数，要求这五位数中1，2，3至少各出现一次，那么这样的五位数共有多少个？

Answer 1

分析 这是一道组合计数问题．由于题目中仅要求1，2，3至少各出现一次，没有确定1，2，3出现的具体次数，所以可以采取分类枚举的方法进行统计，即分1，2，3中恰有一个数字出现3次，和1，2，3中有两个数字各出现2次，据此解答即可．

解答 解：分两类 （1）1，2，3中恰有一个数字出现3次，这样的数有：$C_3^1×5×4=60$（个）；
（2）1，2，3中有两个数字各出现2次，这样的数有：$C_3^2×5×C_4^2=90$（个）；
综上所述符合题意的五位数共有：60+90=150（个）．
答：这样的五位数共有150个．

点评 也可以从反面想，从由1，2，3组成的五位数中，去掉仅有1个或2个数字组成的五位数，即：从反面想：由1，2，3组成的五位数共有3⁵个，由1，2，3中的某2个数字组成的五位数共有3×（2⁵-1）个，由1，2，3中的某1个数字组成的五位数共有3个，所以符合题意的五位数共有3⁵-3×（2⁵-1）-3=150个．