Question

下面的数列是按某种规律排列的：1，3，4，7，11，18，29，47，…试问：
（1）其中第300个数被6除余几？
（2）如果数列按第n组含有n个数的规律分组，成为：（1），（3，4），（7，11，18），…，那么第300组内各数之和除以6的余数是多少？

Answer 1

考点：数字分组,带余除法

专题：余数问题

分析：根据被6除的余数规律，一步一步的解答即可．
（1）除以6的余数分别为：1，3，4，1，5，0，5，5，4，3，1，4，5，3，2，5，1，0，1，1，2，3，5，2，1，3，4，…
可见1，3，4，1，5，0，5，5，4，3，1，4，5，3，2，5，1，0，1，1，2，3，5，2是它的循环节，周期为.24
300÷24=12余12，所以第300个数被6除余4（循环节的第12个数）
（2）前299组共有数1+2+…+299=（1+299）×299÷2=150×299，
最后一个数，即第150×299个数，它除以24的余数为18，第18个数为0
所以第300组300个数除以6的余数分别为1，1，2，3，5，2，1，3，4，1，5，0，5，5，4，3，1，4，5，3，2，5，1，0，…
连续12组还带前面的12个数，所以第300组内各数之和除以6的余数=[（1+1+2+3+5+2+1+3+4+1+5+0+5+5+4+3+1+4+5+3+2+5+1+0）×12+1+1+2+3+5+2+1+3+4+1+5+0]
[（1+1+2+3+5+2+1+3+4+1+5+0+5+5+4+3+1+4+5+3+2+5+1+0）×12+1+1+2+3+5+2+1+3+4+1+5+0]除以6的余数=[1+1+2+3+5+2+1+3+4+1+5+0]
[1+1+2+3+5+2+1+3+4+1+5+0]除以6的余数=4．

解答： 解：（1）把前面的余数写出来：
1，3，4，1，5，0，5，5，4，3，1，4，5，3，2，5，1，0，1，1，2，3，5，2，1，3，4，…
从第25个开始重复，每隔24个数重复出现，300÷24=12…12，
所以第300个数被6除余数同第12个的余数相同，即是4．
（2）前299组共有数1+2+…+299=（1+299）×299÷2=150×299，
最后一个数，即第150×299个数，它除以24的余数为18，第18个数为0
所以第300组300个数除以6的余数分别为1，1，2，3，5，2，1，3，4，1，5，0，5，5，4，3，1，4，5，3，2，5，1，0，…
连续12组还带前面的12个数，所以
第300组内各数之和除以6的余数=[（1+1+2+3+5+2+1+3+4+1+5+0+5+5+4+3+1+4+5+3+2+5+1+0）×12
+1+1+2+3+5+2+1+3+4+1+5+0]
[（1+1+2+3+5+2+1+3+4+1+5+0+5+5+4+3+1+4+5+3+2+5+1+0）×12+1+1+2+3+5+2+1+3+4+1+5+0]除以6的余数=[1+1+2+3+5+2+1+3+4+1+5+0]
[1+1+2+3+5+2+1+3+4+1+5+0]除以6的余数=4．
答：第300组内各数之和除以6的余数是4．

点评：通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是应该具备的基本能力．