Question

有15位同学，每位同学都有一个编号，依次是1至15号．1号同学写了一个五位数，2号同学说：“这个数能被2整除”，3号同学说：“这个数能被3整除”，4号同学说：“这个数能被4整除”……15号同学说：“这个数能被15整除．”1号同学一一验算了，只有编号连续的两位同学说得不对，其他同学都说得对．问：

(1)说得不对的两位同学的编号各是多少？

(2)这个五位数最小是多少？

Answer 1

答案：
解析：

一个数能够被2、3整除，而(2、3)＝1，所以必能被6整除．同理，一个数能被3、5整除，必能被15整除，一个数能被3、4整除，必能被12整除……不断扩大能整除这个五位数的15以内(包括15)的自然数，从而引申出那两个连续自然数肯定不能整除这个数，这两个连续自然数的编号对应的两位同学说得不对．(1)根据题意，这个数一定能被2～7整除，否则这个数也不能被2～7的2倍数整除．由于这个数能被2和5整除，由(2、5)＝1知这个数必能被10整除．同理，这个数也能被12，14，15整除．虽然，11、13不能直接确定能否整除这个数，但由“只有编号连续的两位同学说得不对，其他同学都说得对”可知，这个数也能被11、13整除．剩下的不能被整除的两个连续自然数只有8和9，故说得不对的两位同学的编号各是8、9．(2)2，3，4，5，6，7，10，11．12，13，14，15的最小公倍数等于5×7×11×12×13＝60 060，故这个五位数最小是60 060