Question

如图，梯形ABCD中，AB∥DC，∠ADC+∠BCD=90°，且DC=2AB，分别以DA、AB、BC为边向梯形外作正方形，其面积分别为S₁，S₂，S₃，则S₁，S₂，S₃之间的关系是下列选项中的

1

．

A．S₁+S₂＞S₃；

B．S₁+S₃=S₂；

C．S₁+S₃＜S₂；

D．无法确定．

Answer 1

分析：先过A作AE∥BC，交CD于E，由于AB∥CD，AE∥BC，易证四边形ABCE是平行四边形，从而有AE=BC，CE=AB，而DC=2AB，易得DE=AB，又由于AE∥BC，那么∠1=∠BCD，而∠ADC+∠BCD=90°，易得∠ADC+∠1=90°，根据三角形内角和定理可求∠DAE=90°，利用勾股定理可得DE²=AD²+AE²，进而有AB²=AD²+BC²，那么S₂=S₁+S₃．

解答：解：过点A作AE∥BC交CD于点E，

因为AB∥DC，
所以四边形AECB是平行四边形，
所以AB=CE，BC=AE，∠BCD=∠AED，
因为∠ADC+∠BCD=90°，DC=2AB，
所以AB=DE，∠ADC+∠AED=90°，
所以∠DAE=90°那么AD²+AE²=DE²，
因为S₁=AD²，S₂=AB²=DE²，S₃=BC²=AE²，
所以S₂=S₁+S₃．
故选：B．

点评：本题考查了勾股定理，解题的关键在于通过作辅助线把梯形的问题转换为平行四边形和直角三角形的问题，然后把三个正方形的边长整理到一个三角形中进行解题．