Question

冬冬往一个水池里扔石子．第一次扔l颗石子，第二次扔2颗石子，第三次扔3颗石子，第四次扔4颗石子…他准备扔到水池的石子总数是106的倍数．请问：冬冬最少需要扔多少次？

Answer 1

考点：最大与最小

专题：整除性问题

分析：由题意可知，本题是一个等差数列高斯求和的题，欲求应扔石头的次数，即数列的项数，我们可设应扔n次，那么根据高斯求和可求出所扔石子总数为：1+2+3+…+n=

1

2

×（n+1）．依题意知，

1

2

×（n+1）能被106整除，因此可设

1

2

×（n+1）=106a，（a为106的整数倍）即n×（n+1）=212a，把212分解质因数得：212a=2×2×53a根据n与n+1为两个相邻的自然数，可知2×2×a=52（或54）．当2×2×a=52时，a=13．当2×2×a=54时，a=13

1

2

，a不是整数，不符合题意舍去．因此，n×（n+1）=52×53=52×（52+1），即n=52，所以冬冬应扔52次．

解答： 解：设冬冬应扔n次，根据高斯求和可求出所扔石子总数为，
1+2+3++n=

1

2

×（n+1），
依题意知，

1

2

×（n+1）能被106整除，因此可设

1

2

×（n+1）=106a，
即n×（n+1）=212a，
又212a=2×2×53a，根据n与n+1为两个相邻的自然数，可知2×2×a=52（或54）．
当2×2×a=52时，a=13．
当2×2×a=54时，a=13

1

2

，a不是整数，不符合题意舍去．
因此，n×（n+1）=52×53=52×（52+1），
所以n=52，冬冬应扔52次．
答：冬冬最少需要扔52次．

点评：解题此题的关键是运用高斯求和公式，把数列的和表示为106的整数倍．