Question

7．探索规律
$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$=
$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$=
$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+$\frac{1}{4×5}$=
$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+$\frac{1}{4×5}$+…+$\frac{1}{1999×2000}$=

Answer 1

分析 通过观察发现，上面各题中的分数，分母中的两个因数是两个连续的自然数，可以拆成两个分数相减的形式，通过加减相互抵消，求出结果．

解答 解：（1）$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$
=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$$-\frac{1}{3}$
=1-$\frac{1}{3}$
=$\frac{2}{3}$

（2）$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$
=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$$-\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$
=1-$\frac{1}{4}$
=$\frac{3}{4}$

（3）$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+$\frac{1}{4×5}$
=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$$-\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{5}$
=1-$\frac{1}{5}$
=$\frac{4}{5}$

（4）$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+$\frac{1}{4×5}$+…+$\frac{1}{1999×2000}$
=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$$-\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{1999}$-$\frac{1}{2000}$
=1-$\frac{1}{2000}$
=$\frac{1999}{2000}$

点评 完成此题，注意分数的拆分，通过加减相抵消的方法，求出结果．$\frac{1}{n×（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$．