Question

小明训练上楼梯赛跑，他每步可上2阶或3阶（不上1阶），那么小明上12阶楼梯的不同上法有

12

种．

Answer 1

分析：如果设小明上n阶楼梯有a_n种上法，n是正整数．根据已知条件，他每步可上2阶或3阶楼梯（不上1阶），易知a₁=0，a₂=1，a₃=1．考察a_n：把上n阶楼梯的方法分成两类，第一类是最后一步迈大步上3阶楼梯的上法，第二类是最后一步迈小步上2阶楼梯的上法，由加法原理知a_n等于两类上楼梯方法数之和．第一类上法应先到达第（n-3）阶，再一步“登顶”，有a_n-3种方法；第二类上法应先到达第（n-2）阶，再一步“登顶”，有a_n-2种方法，于是得到递推关系式：a_n=a_n-2+a_n-3，n≥4．据此求出a₁₂的值．

解答：解：设小明上n阶楼梯有a_n种上法，n是正整数，则a₁=0，a₂=1，a₃=1．
由加法原理知a_n=a_n-2+a_n-3，n≥4．
递推可得a₄=a₂+a₁=1，
a₅=a₃+a₂=2，
a₆=a₄+a₃=2，
a₇=a₅+a₄=3，
a₈=a₆+a₅=4，
a₉=a₇+a₆=5，
a₁₀=a₈+a₇=7，
a₁₁=a₉+a₈=9，
a₁₂=a₁₀+a₉=12．
答：小明上12阶楼梯的不同上法有12种．
故答案为：12．

点评：本题是规律性题目，主要考查了加法原理的应用，属于竞赛题型，有一定难度．解答此题的关键是能够根据所给的条件，分析出上n阶楼梯的方法有两类，而由加法原理知a_n等于两类上楼梯方法数之和．