Question

19．2014盏灯排成一排，开始都亮着，第一次从左边第一盏开始，每隔一盏灯拉一下开关（即拉左数1、3、5、…2014盏）；第二次从右边第一盏开始每隔两盏拉一下开关；第三次从左边第一盏开始，每隔3盏拉一下开关，此时亮着的还有1172盏．

Answer 1

分析 第一次拉开关，所有编号为奇数的灯被拉一次，第二次拉开关，所有编号能被3整除的灯被拉了一次，第三次拉开关，所有编号为“被4除余1的数”的灯被拉了一次，这样就会得出一个规律，先求出2、3、4的最小公倍数为12，然后分析从1到12号灯三轮过后的亮灭情况，因为每12盏灯的情况为一个周期，被拉过三次的有只有9号，被拉过两次的有（1、3、5）号三盏，被拉过一次的有（6、7、11、12）四盏，剩下的四盏没有被拉过．因为灯被拉过偶数次（0是偶数）就会亮着，所以有3+4=7盏灯亮着．从13号到24号情况和1到12是一样的．接下来2014÷12=167（个周期）…10（个号）剩下的10个号亮灭情况跟1到12号是一样的．所以，这6盏灯里面没有被拉过三次的，其中只有2010号灯被拉过1次，其他5盏都被拉过偶数次，所以这10盏灯有3盏亮着．三次都拉到的灯有167盏；亮着的灯有167×7+3=1172盏．

解答 解：由分析知：
先求出2、3、4的最小公倍数为12，
然后分析从1到12号灯三轮过后的亮灭情况，因为每12盏灯的情况为一个周期，被拉过三次的有只有9号，被拉过两次的有（1、3、5）号三盏，被拉过一次的有（6、7、11、12）四盏，剩下的四盏没有被拉过，
因为灯被拉过偶数次（0是偶数）就会亮着，所以有3+4=7盏灯亮着，
来2014÷12=167（个周期）…10（个号），剩下的10个号亮灭情况跟1到12号是一样的，
所以，这10盏灯里面没有被拉过三次的，所以这10盏灯有3盏亮着，
亮着的灯有167×7+3=1172盏；
故答案为：1172．

点评 此题主要考查了整数的整除性问题，解题时根据数的整除，首先分别求出2、3、4的最小公倍数，1到12号灯三轮过后的亮灭情况是一个周期，然后进行解答即可．