Question

对自然数1，2，3，…，1000中的每一个数，将它的非零数字相乘，得到1000个积（如203的积为2×3=6，如果仅有一个非零数字，那么这个数字就算作是积，如100的积为1），将这1000个积相加，结果是

 

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Answer 1

分析：1-1000可以分成四类：一位数、两位数、三位数、1000．
一位数，由于数字就算作积，所以一位数的和就是1+2+3+…+8+9=45；
两位数，从10-99，由于十位上的数字可以从1取到9，个位上的数字可以从0取到9，所以当十位上取1时，两数乘积和就是1+1+2+3+…+8+9=46；当十位上取2时，两数乘积和就是2+2+4+6+…+16+18=2×（1+1+2+3+…+8+9）=2×46；按这样下去，就可以得到两位数的乘积和是46×（1+2+3+…+8+9）=46×45；
再来看三位数的情况，三位数其实就是百位上的数字后面再带了00-99这100个数，而我们知道1～99这99个数的乘积和是46×45+45，所以现在只是看百位上的数字了，当百位上的数字是1时，有十位和个位上有100个数，所以和为1+46×45+45=46×45+46=46×46，当百位是2时，和为2+2×（46×45+45）=2×46×46，那么整个三位数的数字乘积和就是（1+2+3+…+8+9）×46×46=45×46×46．
这样1～1000这1000个数的数字积的和是46×45+45+45×46×46+1=97336．

解答：解：一位数：1+2+3+…+8+9=45；
两位数：十位上取1时，两数乘积和就是1+1+2+3+…+8+9=46；当十位上取2时，两数乘积和就是2+2+4+6+…+16+18=2×（1+1+2+3+…+8+9）=2×46；按这样下去，就可以得到两位数的乘积和是46×（1+2+3+…+8+9）=46×45；
三位数：1～99这99个数的乘积和是46×45+45，所以现在只是看百位上的数字了，当百位上的数字是1时，有十位和个位上有100个数，所以和为1+46×45+45=46×45+46=46×46，当百位是2时，和为2+2×（46×45+45）=2×46×46，那么整个三位数的数字乘积和就是（1+2+3+…+8+9）×46×46=45×46×46．
综上可知：
这样1～1000这1000个数的数字积的和是：
46×45+45+45×46×46+1
=46×45+46+45×46×46，
=46×46+45×46×46，
=46×46×46，
=97336．
故答案为：97336．

点评：根据自然数的组成规律按数位分别进行分析后再相加是完成本题的关键．