Question

已知a与b的最大公约数是12，a与c的最小公倍数是300，b与c的最小公倍数也是300，那么满足上述条件的自然数a，b，c共有多少组？
（例如：a=12、b=300、c=300，与a=300、b=12、c=300是不同的两个自然数组）

Answer 1

分析：先将12、300分别进行质因数分解：12=2²×3，300=2²×3×5²，
（1）确定a的值．依题意a只能取12或12×5=60或12×25=300；
（2）确定b的值；
当a=12时，b可取12，或12×5，或12×25；
当a=60，300时，b都只能取12；
所以，满足条件的a、b共有5组：
a=12，b=12； a=12，b=60；a=12，b=300；a=60，b=12； a=300，b=12；
（3）确定a，b，c的组数．
对于上面a、b的每种取值，依题意，c均有6个不同的值：
5²，5²×2，5²×2²，5²×3，5²×2×3，5²×2²×3，即25，50，100，75，150，300；
所以满足条件的自然数a、b、c共有：5×6=30（组）．

解答：解：12=2²×3，300=2²×3×5²，
a=12或a=12×5=60或a=12×25=300；
当a=12时，b=12或b=12×5或b=12×25；
当a=60，300时，b都只能取12；
满足条件的a、b共有5组：
a=12，b=12； a=12，b=60；a=12，b=300；a=60，b=12； a=300，b=12；
对于a、b的每种取值，依题意，c均有6个不同的值：
25，50，100，75，150，300．
所以满足条件的自然数a、b、c共有：5×6=30（组）
答：满足上述条件的自然数a，b，c共有30组．

点评：此类题的关键是认真审题，弄清数量间的关系，然后根据题中给出的条件，进行比较、分析，进而得出结论．