Question

【题目】（1）填表：

n（凸多边形的边数）	3	4	5	…
m（凸多边形中角度等于135°的内角个数的最大值）				…

（2）猜想给定一个正整数n，凸n边形最多有m个内角等于135°，则m与n之间有怎样的关系？

（3）取n=7验证你的猜想是否成立？如果不成立，请给出凸n边形中最多有多少个内角等于135°？并说明理由

Answer 1

【答案】（1）∵三角形中只有一个钝角，

∴三边形中角度等于135°的内角个数的最大值为1；

∵四边形的内角和为360°，

∴四边形中角度等于135°的内角个数的最大值为2；

∵五边形的内角和为540°，

∴五边形中角度等于135°的内角个数的最大值为3；

故答案为：1，2，3；

（2）由（1）得：凸n边形中角度等于135°的内角个数的最大值为：n-2．

即m=n-2；

（3）取n=7时，m=6，验证猜想不成立；

设凸n边形最多有m个内角等于135°，则每个135°内角的外角都等于45°，

∵凸n边形的n个外角和为360°，

∴k≤360÷45=8，只有当n=8时，m才有最大值8，

讨论n≠8时的情况：

（1）当时n＞8，显然，m的值是7；

（2）当n=3，4，5时，m的值分别为1，2，3；

（3）当n=6，7时，m的值分别为5，6；

综上所述，当3≤n≤5时，凸n边形最多有n-2个内角等于135°；当6≤n≤7时，凸n边形最多有n-1个内角等于135°；当n=8时，凸n边形最多有8个内角等于135°；当n＞8时，凸n边形最多有7个内角等于135°。

【解析】（1）根据三角形、四边形、五边形的内角和，可求得答案；

（2）根据（1）可猜想凸n边形中角度等于135°的内角个数的最大值为：n-2；

（3）设凸n边形最多有m个内角等于135°，则每个135°内角的外角都等于45°，由凸n边形的n个外角和为360°，可得k≤360÷45=8，只有当n=8时，m才有最大值8，即可得当3≤n≤5时，凸n边形最多有n-2个内角等于135°；当6≤n≤7时，凸n边形最多有n-1个内角等于135°；当n=8时，凸n边形最多有8个内角等于135°；当n＞8时，凸n边形最多有7个内角等于135°。