Question

一个楼梯共有12级台阶，规定每步可以迈1级台阶或2级台阶，最多可以迈3级台阶．从地面到最上面1级台阶，一共可以有多少种不同的走法？

Answer 1

分析：首先从简单情况入手，若有1级台阶，则只有惟一的迈法，若有2级台阶，则有两种迈法，若有3级台阶，则有4种迈法，若有4级台阶，则按照第一步迈的级数分三类讨论：①第一步迈一级台阶，那么还剩三级台阶，根据前面分析可知a₃=4种万法，②第一步迈二级台阶，还剩二级台阶，根据前面的分析可知有a₂=2种迈法，③第一步迈三级台阶，那么还剩一级台阶，还有a₁=1种，然后依次求出a₅、a₆、…a₁₂．

解答：解：从简单情况入手：
（1）若有1级台阶，则只有惟一的迈法：a₁=1；
（2）若有2级台阶，则有两种迈法：一步一级或一步二级，则a₂=2；
（3）若有3级台阶，则有4种迈法：①一步一级地走，②第一步迈一级而第二步迈二级，③第一步迈二级而第二步迈一级，④一级迈三级，a₃=4；
（4）若有4级台阶，则按照第一步迈的级数分三类讨论：①第一步迈一级台阶，那么还剩三级台阶，根据前面分析可知a₃=4种万法，②第一步迈二级台阶，还剩二级台阶，根据前面的分析可知有a₂=2种迈法，③第一步迈三级台阶，那么还剩一级台阶，还有a₁=1．
所以a₄=a₁+a₂+a₃=7，
类推，有a₅=a₂+a₃+a₄=2+4+7=13；
a₆=a₃+a₄+a₅=4+7+13=24；
a₇=a₄+a₅+a₆=7+13+24=44；
a₈=a₅+a₆+a₇=13+24+44=81；
a₉=a₆+a₇+a₈=24+44+81=149；
a₁₀=a₇+a₈+a₉=44+81+149=274．
a₁₁=a₈+a₉+a₁₀=81+149+274=504，
a₁₂=a₉+a₁₀+a₁₁=149+274+504=927，
所以共有927种迈法．

点评：本题主要考查加法原理和乘法原理的知识点，解答本题的关键是从简单情况入手，依次求出n级台阶的迈法，此题难度不大．