Question

如图是在研究杨辉三角问题时的系数的规律图．第一层只有一个数字1；第二层有两个数字1，1；第三层有三个数字1，2，l，…．观察图中的规律，试回答：
（1）要使图中每一层的数字和都不超过100，则最多可以有多少层？
（2）要使第n层中所有数字的和不小于2004，则n最小为多少？

Answer 1

分析：根据图中数据可以看出，第一层数字是1，可以看成2⁰；第二层数字之和是2，可以看成2¹；第三层数字之和是4，可以看成2²；第四层数字之和是8，可看成2³；第五层数字之和是16，可看成2⁴；…第n层数字之和可以写成2^n-1．

解答：解：（1）因为2⁶＜100＜2⁷，
所以n-1=6，则n=7．
答：要使图中每一层的数字和都不超过100，则最多可以有7层．
（2）因为2¹⁰=1024，2¹¹=2048，可得：1024＜2004＜2048；
所以要使第n层中所有数字的和不小于2004，则n-1=11，即n=12．
答：要使第n层中所有数字的和不小于2004，则n最小为12．

点评：根据图中每一层上的数字之和得出排列规律为：2^n-1，是解决本题的关键．