Question

平面上画5个圆，最多可以把平面分成多少部分？如果再画一条直线，最多可以把平面分成多少部分？

Answer 1

分析：（1）画一个圆可以将平面分成2部分；
画第二个圆时与第一个圆最多新产生2个交点，平面数量多2，即2+2=4，被分成4部分；
画第三个圆时，与前两个圆最多新产生4个交点，平面数量增加4，即2+2+4=8，平面被分成8部分；
画第四个圆时，与前三个圆最多新产生6个交点，平面数量增加6，平面被分成2+2+4+6=14，平面被分成14部分；
画第五个圆时，与前四个圆最多新产生8个交点，平面数量增加8，平面被分成2+2+4+6+8=22，平面被分成22部分；
（2）若再画一条直线，要使分平面的部分数最多，则直线与五个圆都相交，有10个交点，直线被五个圆分成11部分，每一部分将原来所在平面区域又分成两部分；又因为圆外的两部分实际上同属于一个区域，所以实际增加了10个部分，此时，将平面最多分成22+10=32个部分．

解答：解：（1）最多可以把平面分成：
2+2+4+6+8=22（个）；
答：平面上画5个圆，最多可以把平面分成22个部分．
（2）22+10=32（个）；
答：如果再画一条直线，最多可以把平面分成32部分．

点评：根据问题一我们通过从特殊到一般，可以归纳结论得出：n个圆最多能将平面分成n²-n+2个部分．