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五支足球队伍比赛,每两个队伍之间比赛一场:胜者得3分,负者得0分,平局各得1分,比赛完毕后,发现各队得分均不超过9分,且恰有两只队伍同分,设五支队伍的得分从高到低依次为A、B、C、D、E(有两个字母表示的数是相同的),若
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ABCDE
恰好是15的倍数,那么此次比赛中共有多少场平局?
考点:逻辑推理
专题:逻辑推理问题
分析:5支足球队伍比赛,首先算出比赛一共10场,总分在20到30分之间,由于
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ABCDE
恰好是15的倍数,那么
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ABCDE
就既是3的倍数也是5的倍数,那么E只能是0或者5,从而分别进行讨论得出结论.
解答: 解:5×(5-1)÷2=10(场)
比赛一共10场,总分在20到30分之间.
五位数
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ABCDE
恰是15的倍数,利用整除性可知,E可为0或者5,考虑到E最小,如果,总分最小为8+7+6+5+5=31分,不成立,所以,即第五名4场全负积0分.
第五名负四场,则平局最多为6场,总分最少为24分.又考虑到分数和为3的倍数,总分可能情况为30,27,24.对三种情况分别讨论:
(1)总分30分:
即无平局情况,那么前四名队伍得分只可能为9,6,3分.不能在只有两个重复的情况下凑出30.所以总分30分情况不存在.
(2)总分27分:
经测试,存在,满足题目分数要求,且四个队7场胜3场负,恰好满足第五队的4场负,所以此为一解,比赛3场平局.
(3)总分24分:
在24分情况下,只有前四名只能各胜1场平2场,但不满足只有两队得分相同.
所以总分24分情况不存在.
综上,唯一存在总分27分情况下,比赛中共有3场平局.
点评:先根据总场次找出总得分的范围,然后根据
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ABCDE
恰是15的倍数,确定得分的可能性,然后进行推理找出符合要求的分数,从而求解.
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