Question

观察以下的运算：
若

.

abc

是三位数，因为

.

abc

=100a+10b+c=99a+9b+（a+b+c）
所以，若a+b+c能被9整除，

.

abc

能被9整除．
这个结论可以推广到任意多位数．
运用以上的结论，解答以下问题：
（1）N是2011位数，每位数字都是2，求N被9除，得到的余数．
（2）N是n位数，每位数字都是7，n是被9除余3的数．求N被9除，得到的余数．

Answer 1

分析：（1）被9整除的数的特征是：各个数位上的数字的和能够被9整除，N是2011位数，并且每位数字都是2，它的各个数位上的数字的和为（2011×2），进一步算出此和被9除，得到的余数，也即N被9除，得到的余数；
（2）根据被9整除的数的特征，可知自然数N各个数位上数字之和为7n；由于n÷9余3，所以设n=9k+3，则7n=7（9k+3）=63k+21=（63k+18）+3=9（7k+2）+3；那么N-3的各个数位上数字和为7n-3=9（7k+2）能被9整除，所以N-3能被9整除，所以N被9除的余数也是3．

解答：解：（1）2011×2=4022；
4022÷9=446…8，
所以N被9除，得到的余数是8；
（2）自然数N各个数位上数字之和为7n；由于n÷9余3，所以不妨设n=9k+3，
则7n=7（9k+3）=63k+21=（63k+18）+3=9（7k+2）+3；
那么N-3的各个数位上数字和为7n-3=9（7k+2）能被9整除，所以N-3能被9整除，所以N被9除的余数也是3．
答：（1）N被9除，得到的余数是9，（2）N被9除，得到的余数是3．

点评：此题考查数的整除特征，关键是根据能被9整除的数的特征：各个数位上的数字的和能够被9整除，进一步解决问题．