Question

（1）黑板上写有2005个连续的自然数：2，3，4，…，2005，2006．甲乙两位同学来做一个游戏：两人轮流擦去黑板上的数字，每人每次擦掉一个，甲先乙后．直到最后剩下两个数为止．这时如果黑板上的两个数互质，则甲胜；如果黑板上的两个数不是互质数，则乙胜．问甲有必胜的策略吗？
（2）如果黑板上写的是2004个自然数2，3，…，2004，2005时，按（1）的规则游戏，谁有必胜的策略？

Answer 1

分析：（1）甲采用如下策略：先擦去2006，然后将剩下的2004个自然数分为1002组，（2，3）（4，5），…（2004，2005），乙擦去哪个组的一个数，甲接着就擦去同一组的另个数，这样最后剩下的两个数是相邻的两个数，而相邻的两个数是互质的，所以甲必胜；
（2）乙必胜的策略：①当甲始终擦去偶数时，乙留下一对不互质的奇数，例如，3和9，而擦去其余的奇数；②当甲从某一步开始擦去奇数时，乙可以跟着擦去奇数，这样最后给乙留下的三个数有两种情况，一种是剩下一个偶数和两个奇数3和9，此时乙擦掉那个偶数，另一种是至少两个偶数，此时已留下两个偶数就可以了．

解答：解：（1）甲采用如下策略：先擦去2006，然后将剩下的2004个自然数分为1002组，（2，3）（4，5），…（2004，2005），
乙擦去哪个组的一个数，甲接着就擦去同一组的另个数，这样最后剩下的两个数是相邻的两个数，而相邻的两个数是互质的，
所以甲必胜；

（2）乙必胜的策略：
①当甲始终擦去偶数时，乙留下一对不互质的奇数，例如，3和9，而擦去其余的奇数；
②当甲从某一步开始擦去奇数时，乙可以跟着擦去奇数，
这样最后给乙留下的三个数有两种情况，
一种是剩下一个偶数和两个奇数3和9，此时乙擦掉那个偶数，
另一种是至少两个偶数，
此时乙留下两个偶数就可以了．

点评：解答本题的关键是（1）甲先擦掉2006，保证最后剩下的是两个数为相邻的数即可；（2）是看甲如何擦，乙再灵活采取措施，保证剩下的两个数不是互质数．