Question

设n是满足下列条件的自然数，它们是75的倍数且恰好有75个自然数因数（包括1和本身），求

n

75

的最小值．

Answer 1

分析：因75=3×5×5=15×5=3×25=1×75，恰有75个自然数因数的n具有这样的形式，n=p²q⁴r⁴或n=p¹⁴q²⁴或p⁷⁴，其中p，q，r是质数，由n是75的倍数，则p，q，r有一个是3，另一个是5，且是5的因数的幂不小于2，为使n最小，只能是n=5²×3⁴×2⁴，据此解答．

解答：解：n=5²×3⁴×2⁴，
=25×81×16，
=32400，

n

75

=

32400

75

=432．
答：最小值是432．

点评：本题的关键是求出这个数的质因数的个数．