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一个四位数的各位数字互不相同,将其千位与个位数字调换后形成新的四位数,新四位数与原数的最大公约数是63,则原四位数可能是多少?
考点:公约数与公倍数问题
专题:整除性问题
分析:设M=abcd,N=dbca,则M-N=1000a+100b+10c+d-(1000d+100b+10c+a)=999a-999d=999(a-d);因为M和N的最大公约数是63,所以M与M-N的最大公约数也是63,
可得999(a-d)是7、9的倍数,所以a-d=7,解得
a=9
d=2
a=8
d=1
,所以M=9bc2或M=8bc1,M是7、9的倍数,然后分类讨论,求出原四位数可能是多少即可.
解答: 解:设M=abcd,N=dbca,则M-N=1000a+100b+10c+d-(1000d+100b+10c+a)=999a-999d=999(a-d);
因为M和N的最大公约数是63,
所以M与M-N的最大公约数也是63,
可得999(a-d)是7、9的倍数,
所以a-d=7,
解得
a=9
d=2
a=8
d=1

M=9bc2或M=8bc1,M是7、9的倍数,
①当M=9bc2时,
因为M是9的倍数,
所以9+b+c+2=11+b+c是9的倍数,
因此b+c=7或b+c=16(舍去),
经验证,9702满足题意,
同理,2709也满足题意;
②当M=8bc1时,
因为M是9的倍数,
所以8+b+c+1=9+b+c是9的倍数,
因此b+c=9或b+c=18(舍去),
经验证,8631满足题意,
同理,1638也满足题意,
综上,原四位数是9702、2709、8631或1638.
点评:此题主要考查了公约数与公倍数问题的应用,解答此题的关键是判断出:M与M-N的最大公约数也是63.
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