Question

一个四位数的各位数字互不相同，将其千位与个位数字调换后形成新的四位数，新四位数与原数的最大公约数是63，则原四位数可能是多少？

Answer 1

考点：公约数与公倍数问题

专题：整除性问题

分析：设M=abcd，N=dbca，则M-N=1000a+100b+10c+d-（1000d+100b+10c+a）=999a-999d=999（a-d）；因为M和N的最大公约数是63，所以M与M-N的最大公约数也是63，
可得999（a-d）是7、9的倍数，所以a-d=7，解得

a=9 d=2

或

a=8 d=1

，所以M=9bc2或M=8bc1，M是7、9的倍数，然后分类讨论，求出原四位数可能是多少即可．

解答： 解：设M=abcd，N=dbca，则M-N=1000a+100b+10c+d-（1000d+100b+10c+a）=999a-999d=999（a-d）；
因为M和N的最大公约数是63，
所以M与M-N的最大公约数也是63，
可得999（a-d）是7、9的倍数，
所以a-d=7，
解得

a=9 d=2

或

a=8 d=1

，
M=9bc2或M=8bc1，M是7、9的倍数，
①当M=9bc2时，
因为M是9的倍数，
所以9+b+c+2=11+b+c是9的倍数，
因此b+c=7或b+c=16（舍去），
经验证，9702满足题意，
同理，2709也满足题意；
②当M=8bc1时，
因为M是9的倍数，
所以8+b+c+1=9+b+c是9的倍数，
因此b+c=9或b+c=18（舍去），
经验证，8631满足题意，
同理，1638也满足题意，
综上，原四位数是9702、2709、8631或1638．

点评：此题主要考查了公约数与公倍数问题的应用，解答此题的关键是判断出：M与M-N的最大公约数也是63．