Question

有15位同学，每位同学都有编号，他们是1号到15号，1号同学写了一个自然数，2号说：“这个数能被2整除”，3号说：“这个数能被他的编号数整除.1号作了检验：只有编号连续的二位同学说得不对，其余同学都对，问：
（1）说的不对的两位同学，他们的编号是哪两个连续自然数？
（2）如果告诉你，1号写的数是五位数，请找出这个数．

Answer 1

分析：（1）首先可以判定编号是2、3、4、5、6、7号的同学说的一定都对．不然，其中说得不对的编号乘以2后所得编号也将说得不对．这个数能同时被2、5，3，4和2、7整除，则一定能被10、12、14整除，从而编号为10、12、14的同学说得对．由“两个连续编号的同学说得错“知，11，13，15号也说得对．因此，说的不对的两个同学的编号是8和9．
（2）这个数是2、3、4、5、6、7、10、11、12、13、14、15的公倍数，因为[2，3，4，5，6，7，10，11，12，13，14，15]=60060．因为60060是一个五位数，而上述12个数的其它公倍数不是五位数，所以1号同学写的数就是60060

解答：解：（1）根据2号～15号同学所述结论，将合数4，6，，（15分）解质因数后，由1号同学验证结果，进行分析推理得出问题的结论．
4=2²，6=2×3，8=2³，9=3²，10=2×5，12=2²×3，14=2×7，15=3×5．
由此不难断定说得不对的两个同学的编号是8与9两个连续自然数（可逐次排除，只有8与9满足要求）．
（2）1号同学所写的自然数能被2，3，4，5，6，7，10，11，12，13，14，15这12个数整除，也就是它们的公倍数．它们的最小公倍数是2²×3×5×7×11×13=60060．
因为60060是一位五位数，而这12个数的其他公倍数均不是五位数，所以1号同学写的五位数是60060．

点评：此题考查了学生数的整除特征，同时解答此题要有较强的分析推理能力．本题难度较高，应认真分析．