Question

一辆邮车每天从A地往B地运送邮件，沿途（包括A，B）共有18站．从A地出发时，装上发往后面17站的邮件各一个，到达后面各站后卸下前面各站发往该站的邮件，同时装上该站发往下面各站的邮件各一个，设邮车在第n站装卸完毕后剩余的邮件个数为a_n（n=1，2，…，18），则a_n的最大值是

81

．

Answer 1

分析：该题特点是后站得不能往前站发货，编号a₀～a₁₈，则在第n站装上18-n件货，卸下n-1件，则到第n站时，共装上17+16+…+18-n=（17+18-n）×n÷2=

n(35-n)

2

件；共卸下的件数为：0+1+2+3+…n-1=（n-1）×n÷2=

n(n-1)

2

件，当

n(35-n)

2

-

(1+n)n

2

的值最大时，则在在第n站装卸完毕后剩余的邮件个数为a_n的值最大．

n(35-n)

2

-

(1+n)n

2

=18n-n²，当n=9时，18n-n²的值最大，为81．即a_n的最大值是81．

解答：解：由题意可知，
到第n站时，共装上：17+16+…+18-n=（17+18-n）×n÷2=

n(35-n)

2

件；
共卸下的件数为：0+1+2+3+…n-1=（n-1）×n÷2=

n(n-1)

2

；
余下的件数为：

n(35-n)

2

-

(1+n)n

2

=18n-n²，
当n=9时，18n-n²=18×9-9²=81，其值最大，
即a_n的最大值是81．
故答案为：81．

点评：明确在第n站装上件数为18-n件，卸下n-1件，并根据高斯求和公式列出关系式是完成本题的关键．