Question

试求三个不同的自然数a，b，c，使其中任两个数的积都能被他们的和整除（即a×b÷（a+b），a×c÷（a+c），b×c÷（b+c） 都是整除）．

Answer 1

分析：如果（a，b）=1（即a，b互质），那么，（a+b，a）=1及（a+b，b）=1，此时，a+b 不能整除a×b．
设（a，b）=d＞1，又设a=a'd，b=b'd，于是（a'，b'）=1，此时，由上分析知a'+b'仍不能整除a'×b'．
因而，有（a'，b'）=1得（a'+b'，a'）=1，（a'+b'，b'）=1故（a'+b'，a'×b'）=1，但a×b=a'd×b'd=a'b'd²，所以a×b÷（a+b）=a'b'd²÷[（a'+b'）d]=a'b'd÷（a'+b'）．
因此，如果a×b能被（a+b）整除，那么就应有（a'+b'）能整除d．
根据这一点可知，若（a，b，c）=d，则a=a'd，b=b'd，c=c'd，就会有d是a'+b'，b'+c'，c'+a'的倍数，于是得解．

解答：解：取a'=1，b'=2，c'=3，于是a'+b'=3，b'+c'=5，c'+a'=4．而3，4，5的最小公倍数为60．
取d=60，于是，a=a'd=60，b=b'd=120，c=c'd=180，这时有：
a×b÷（a+b）=60×120÷（60+120）=40；
b×c÷（b+c）=120×180÷（120+180）=72；
c×a÷（c+a）=180×60÷（180+60）=45．
所以，60，120，180是符合条件的三个数．
从解题过程中可知，满足（a'，b'，c'）=1的a'，b'，c'不唯一，故本题解法也不唯一．
例如取a'=2，b'=3，c'=5，则a'+b'=5，b'+c'=8，c'+a'=7，而5，7，8的最小公倍数[5，7，8]=280，又可找到一组a，b，c．它们分别是：
a=a'd=560，b=b'd=840，c=c'd=1400．

点评：掌握数的整除特性，是解答此题的关键，考查了学生的分析推理能力．