Question

求证：11，111，1111，…，111…1（n个1）这串数中没有完全平方数．

Answer 1

考点：完全平方数性质

专题：传统应用题专题

分析：如果这串数有完全平方数，则它必是奇数的平方．
因为奇数的完全平方数是奇数，偶数的完全平方数为偶数，而奇数的完全平方数除以4余1，偶数的完全平方数能被4整除，现在这些数都是奇数，它们除以4的余数都是3，所以不可能为完全平方数．

解答： 解：因为奇数的完全平方数是奇数，偶数的完全平方数为偶数，而奇数的完全平方数除以4余1，偶数的完全平方数能被4整除，现在11，111，1111，11111，…这些数都是奇数，它们除以4的余数都是3，所以不是完全平方数．

点评：此题也可这样理解：易知该串数中若存在完全平方数，则为末尾是1或9的数的平方．当该串数中存在末尾为1的数的平方时，则，其中n、k为正整数．但，易知n²需满足十位数为偶数，矛盾．当该串数中存在末尾为9的数的平方时，则，其中n、k为正整数．但，易知n²需满足十位数为偶数，矛盾．