Question

如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=10，将△ABC绕点B沿顺时针方向旋转90°得到△A₁BC₁．
（1）线段A₁C₁的长度是______，∠CBA₁的度数是______．
（2）连结CC₁，求证：四边形CBA₁C₁是平行四边形．

Answer 1

（1）解：因为将△ABC绕点B沿顺时针方向旋转90°得到△A₁BC₁．
所以A₁C₁=10，∠CBC₁=90°，
而△ABC是等腰直角三角形，
所以∠A₁BC₁=45°，
所以∠CBA₁=135°；
（2）证明：因为∠A₁C₁B=∠C₁BC=90°，
所以A₁C₁∥BC．
又因为A₁C₁=AC=BC，
所以四边形CBA₁C₁是平行四边形．
分析：（1）由于将△ABC绕点B沿顺时针方向旋转90°得到△A₁BC₁，根据旋转的性质可以得到A₁C₁=AC，∠CBC₁=90°，而△ABC是等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质即可求出∠CBA₁的度数；
（2）由∠A₁C₁B=∠C₁BC=90°可以得到A₁C₁∥BC，又A₁C₁=AC=BC，利用评选四边形的判定即可证明题目的问题．
点评：此题主要考查了旋转的性质，也考查了平行四边形的判定，解题的关键是利用旋转的性质得到相等的相等和相等的角，然后利用等腰直角三角形的性质加减问题．