Question

8．两个自然数的和是111，要使这两个数的最大公因数尽可能大，这两个数应该取多少？要使这两个数的最大公因数尽可能小，这两个数应该取多少？

Answer 1

分析 由题中2个自然数，它们的和是111，如果要求这2个数的公约数尽可能大，那么2个自然数的公约数也一定是111的约数，这样，讨论2个数的最大公约数的问题可以转化为讨论111的约数问题．在此基础上来确定这2个数，使它们的和为111且最大公约数为最大和最小．

解答 解：（1）因为111=3×37，其约数有1，3，37，111．显然111不符合要求，
再考虑约数37，由于111=37×3=37×（1+2）=37+37×2．
如果取37，37×2=74这2个数，就满足题目的要求使这两个数的最大公因数尽可能大其和为111且他们的最大公约数为37．
 （2）同理，因为111=3×37=1×111，其约数有1，3，37，111．显然111不符合要求，
考虑约数1，由于111=1×111=1+110，
如果取1，110这2个数，就满足题目的要求使这两个数的最大公因数尽可能小且其和为111且他们的最大公因数为1．
答：要使这两个数的最大公因数尽可能大，这两个数应该取37和74，要使这两个数的最大公因数尽可能小，这两个数应该取1和110．

点评 此题主要考查约数定理的灵活应用，关键是明确要使这2个数的公约数尽可能大（小），那么2个自然数的公约数也一定是111的约数．