Question

一个三位数除以它的各位数字之和等于19，这样的三位数有多少个？

Answer 1

分析：设这个三位数的百位，十位，个位上的数字分别为A、B、C，先根据这个三位数等于它的各位数字和的19倍，列出方程100A+10B+C=19（A+B+C），整理可得 9A=B+2C，因为A、B、C都是一位数字，据此推算得出A、B、C的取值情况，再经过检验，即可得出结果．

解答：解：设这个三位数的百位，十位，个位上的数字分别为A、B、C，先根据这个三位数等于它的各位数字和的19倍，列出方程100A+10B+C=19（A+B+C），
整理可得 9A=B+2C，
A最小是1，最大是9，且A、B、C都是一位数，
（1）当A=1时，B+2C=9，因为2C一定是偶数，所以B是奇数，
B=1，C=4，三位数是114；
B=3，C=3，这个三位数是133；
B=5，C=2，这个三位数是152；
B=7，C=1，这个三位数是171，
B=9，C=0，这个三位数是190，一共有，5个；

（2）当A=2时，B+2C=18，因为2C一定是偶数，所以B是偶数，
B=0，C=9，这个三位数是209；
B=2，C=8，三位数是228；
B=4，C=7，这个三位数是247；
B=6，C=6，这个三位数是266；
B=8，C=5，这个三位数是285，一共有5个；

（3）当A=3时，B+2C=27，因为2C一定是偶数，所以B是奇数，
所以B只能是9，则C=9，三位数是399，一共有1个；

（4）当A=4时，B+2C=36，因为2C一定是偶数，所以B是偶数，所以B取1～9时，C都是两位数，不符合题意；
所以当A=5、6、7、8、9时，都找不出适合B、C的一位数；
据此可得：这样的三位数有114、133、152、171、190、209、228、247、266、285、399，一共有11个．
答：这个三位数一共有11个．

点评：本题考查了数的整除性问题，属于竞赛题型，有一定难度．根据题意列出方程，然后根据能被19整除的数的特征得验证推理得出正确的结果，是解答本题的关键．