Question

如图所示，在直线AB上有7个点，直线CD上有9个点．以AB上的点为一个端点、CD上的点为另一个端点的所有线段中，任意3条线段都不相交于同一个点，求所有这些线段在AB与CD之间的交点数．

Answer 1

分析：常规的思路是这样的：直线AB上的7个点，每个点可以与直线CD上的9个点连9根线段，然后再分析这些线段相交的情况．如图所示，如果注意到下面这个事实：对于直线AB上的任意两点M、N与直线CD上的任意两点P、Q都可以构成一个四边形MNQP，而这个四边形的两条对角线MQ、NP的交点恰好是我们要计数的点，同时，对于任意四点（AB与CD上任意两点）都可以产生一个这样的交点，所以图中两条线段的交点与四边形有一一对应的关系．
这说明，为了计数出有多少个交点，我们只需要求出在直线AB与CD中有多少个满足条件的四边形MNQP就可以了！从而把问题转化为：
在直线AB上有7个点，直线CD上有9个点．四边形MNQP有多少个，其中点M、N位于直线AB上，点P、Q位于直线CD上．这是一个常规的组合计数问题，可以用乘法原理进行计算．

解答：解：由于线段MN有

C

2 7

=21种选择方式，线段PQ有

C

2 9

=36种选择方式，根据乘法原理，共可产生21×36=756个四边形．
因此在直线AB与CD之间共有756个交点．

点评：此题解答有一定难度，通过转化，变为一个常规的组合计数问题，用乘法原理进行计算．