Question

20．求1+2+2²+2³+…+2²⁰¹²的值，可令S=1+2+2²+2³+…+2²⁰¹²，则2S=2+2²+2³+2⁴+…+2²⁰¹³，因此2S-S=2²⁰¹³-1．仿照以上推理，计算出1+5+5²+5³+…+5²⁰¹²的值为（　　）

• A． 5²⁰¹²-1
• B． 5²⁰¹³-1
• C． $\frac{{5}^{2013}-1}{4}$
• D． $\frac{{5}^{2012}-1}{4}$

Answer 1

分析 观察题目中所给的推理方法：可以发现，当乘方的底数为2的时候，把原式乘上2，再与原式相减即可得出答案；因此当乘方中底数为5时，把原式乘上5，得到与原式类似的式子，再减去原式即可得到答案．据此解决．

解答 解：设S=1+5+5²+5³+…+5²⁰¹²，
则5S=5+5²+5³+5⁴+…+5²⁰¹³，
所以5S-S=（5+5²+5³+5⁴+…+5²⁰¹³）-（1+5+5²+5³+…+5²⁰¹²）
=5+5²+5³+5⁴+…+5²⁰¹³-1-5-5²-5³-…-5²⁰¹²
=5²⁰¹³-1，
即4S=5²⁰¹³-1
所以S=$\frac{{5}^{2013}-1}{4}$；
故选：C．

点评 解决本题的关键是观察题干中的推理过程，找到规律，然后应用规律解决问题．