Question

因数和是指一个数所有因数的和，例如“6”的因数和是1+2+3+6=12．
（1）24的因数和是多少？
（2）一个自然数有5个因数，求因数和最小是多少？
（3）一个数的因数和是78，求这个数是多少？

Answer 1

考点：约数个数与约数和定理

专题：

分析：（1）把24分解质因数，求和即可；
（2）一个自然数有5个因数，因数的个数是奇数个，所以它是完全平方数，这个自然数只能是某个数的4次方，这个自然数最小是2⁴据此解答；
（3）把78分解质因数，

解答： 解：60；31；45
（1）24=2³×3，所以因数和为：（1+2+4+8）×（1+3）=60；

（2）5不能分解质因数了，这个自然数只能是某个数的5-1=4次方，这个数最小是2⁴，因此因数和最小为：2⁰+2¹+2²+2³+2⁴=+1+2+4+8+16=31；

（3）78=2×3×13=6×13，分解各个因数，看是否能组成各个数（1+a+a²+a³+…）的形式相乘；
经试验，78=2×3×13，（1+1）×（1+2）×（1+3+9），2=1+1，不和题意舍去；
78=6×13，可以得出（1+5）×（1+3+9）符合要求，
所以这个数为：5¹×3²=5×3×3=45；

点评：此题是数论中的约数个数问题以及因数和公式的逆运用，关键是知道因数和公式是什么，即（简单地说就是每个质因数从0次方加到它的最高次方，然后连乘）．