Question

2010盏灯排成一排，开始都亮着．第一次从左边第一盏灯开始，每隔一盏灯拉一下开关（即拉左数第1，3，5，…，2009盏）．第二次从右边第一盏灯开始，每隔两盏灯拉一下开关．第三次又从左边第一盏灯开始，每隔三盏灯拉一下开关．三次都拉到的灯有

167

盏，亮着的还有

1174

盏．

Answer 1

分析：第一次拉开关，所有编号为奇数的灯被拉一次，第二次拉开关，所有编号能被3整除的灯被拉了一次，第三次拉开关，所有编号为“被4除余1的数”的灯被拉了一次，这样就会得出一个规律，先求出2、3、4的最小公倍数为12，然后分析从1到12号灯三轮过后的亮灭情况，因为每12盏灯的情况为一个周期，被拉过三次的有只有9号，被拉过两次的有（1、3、5）号三盏，被拉过一次的有（6、7、11、12）四盏，剩下的四盏没有被拉过．因为灯被拉过偶数次（0是偶数）就会亮着，所以有3+4=7盏灯亮着．从13号到24号情况和1到12是一样的．接下来2010÷12=167（个周期）…6（个号）剩下的6个号亮灭情况跟1到6号是一样的．所以，这6盏灯里面没有被拉过三次的，其中只有2010号灯被拉过1次，其他5盏都被拉过偶数次，所以这6盏灯有5盏亮着．三次都拉到的灯有167盏；亮着的灯有167×7+5=1174盏．

解答：解：由分析知：
先求出2、3、4的最小公倍数为12，
然后分析从1到12号灯三轮过后的亮灭情况，因为每12盏灯的情况为一个周期，被拉过三次的有只有9号，被拉过两次的有（1、3、5）号三盏，被拉过一次的有（6、7、11、12）四盏，剩下的四盏没有被拉过，
因为灯被拉过偶数次（0是偶数）就会亮着，所以有3+4=7盏灯亮着，
来2010÷12=167（个周期）…6（个号），剩下的6个号亮灭情况跟1到6号是一样的，
所以，这6盏灯里面没有被拉过三次的，其中只有2010号灯被拉过1次，其他5盏都被拉过偶数次，所以这6盏灯有5盏亮着，
三次都拉到的灯有167盏；亮着的灯有167×7+5=1174盏；
故答案为：167，1174．

点评：此题主要考查了整数的整除性问题，解题时根据数的整除，首先分别求出2、3、4的最小公倍数，1到12号灯三轮过后的亮灭情况是一个周期，然后进行解答即可．