Question

（1）能否将l至15排成一行，使得任意相邻两数之和都为平方数？
（2）能否将1至15排成一行，使得任意相邻两数之和都为质数？

Answer 1

考点：完全平方数性质

专题：传统应用题专题

分析：（1）因为1+2=3、15+14=29，要使任意相邻两数的和为平方数，则其最大和为25、最小和为4．
又因为这一串数一共有14个相邻和，要满足条件，它们必须为4、9、16、25．
两数和为4，只可能有一种情况：1+3
两数和为9，只可能有三种情况：1+8、2+7、3+6、4+5
两数和为16，只可能有六种情况：1+15、2+14、3+13、4+12、5+11、6+10、7+9
两数和为25，只可能有种情况：10+15、11+14、12+13
其中，8、9出现了一次，与这串数“最外边的两个数与相邻数加一次、其余的数要与相邻数加两次”相吻合，经尝试，可以排出满足题中的条件的排法，如：
8、1、15、10、6、3、13、12、4、5、11、14、2、7、9．
（2）因为在1--15之间，1+2=3、15+14=29，最大和为29，最小和为3，在3-29之间的质数有：1，3，5，7，11，13，17，19，23，29．因此可以试着排一下，如：15、2、3、14、5、8、9、10、13、4、1、12、7、6、11．

解答： 解：（1）因为1+2=3、15+14=29，要使任意相邻两数的和为平方数，则其最大和为25、最小和为4．
又因为这一串数一共有14个相邻和，要满足条件，它们必须为4、9、16、25．
两数和为4，只可能有一种情况：1+3
两数和为9，只可能有三种情况：1+8、2+7、3+6、4+5
两数和为16，只可能有六种情况：1+15、2+14、3+13、4+12、5+11、6+10、7+9
两数和为25，只可能有种情况：10+15、11+14、12+13
可以排出满足题中的条件的排法，如：
8、1、15、10、6、3、13、12、4、5、11、14、2、7、9．
因此，能将l至15排成一行，使得任意相邻两数之和都为平方数．

（2）1+2=3、15+14=29，最大和为29，最小和为3，在3-29之间的质数有：1，3，5，7，11，13，17，19，23，29．
将1至15排成一行，使得任意相邻两数之和都为质数，可以排成：15、2、3、14、5、8、910、13、4、1、12、7、6、11．
因此，能将1至15排成一行，使得任意相邻两数之和都为质数．

点评：解答此题，应注意找出最值，理解平方数以及质数的概念．