Question

如图所示，阴影正方形的面积是2平方厘米，以这个正方形的对角线为边作第二个正方形；再以第二个正方形的对角线为边作第三个正方形．照此法依次作下去．问：
（1）第100个正方形的面积是多少平方厘米？
（2）这100个正方形的面积之和是多少平方厘米？
（3）这100个正方形实际覆盖的面积是多少平方厘米？

Answer 1

解：（1）由题意得：第二个正方形的面积是2×2=4=2²，
第三个正方形的面积是4×2=8=2³，
第四个正方形的面积是8×2=16=2⁴，
…
依此类推，则S_n=2ⁿ．
所以第100个正方形的面积是：2¹⁰⁰平方厘米．
答：第100个正方形的面积是2¹⁰⁰平方厘米；

（2）这100个正方形的面积之和是：2¹+2²+2³+…+2¹⁰⁰=2¹⁰¹-2（平方厘米）；
答：这100个正方形的面积之和是2¹⁰¹-2平方厘米．

（3）（2¹⁰¹-2）×=2¹⁰⁰-1（平方厘米）．
答：这100个正方形实际覆盖的面积是2¹⁰⁰-1平方厘米．
分析：（1）根据已知可发现第n个正方形面积是第（n-1）个面积的2倍，所以第100个正方形面积是2¹⁰⁰，据此解答即可．
（2）将100个正方形面积相加即可
（3）由图意得出这100个正方形实际覆盖的面积是这100个正方形面积和的一半．
点评：主要考查了学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．