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100、如图,小刚在圆周上放了1枚黑子和2010枚白子,从黑子开始,按顺时针方向,每隔1枚,取走 1枚,即留下奇数号棋子,取走偶数号棋子,若黑子初始位置是第2011号,则最后剩下的棋子最初是第几号?
分析:本题可从简单的问题开始,通过实验寻找规律.如果圆圈上只有1、2号两枚棋子,最后剩下的是1号;如果圆圈上只有1~4号这4枚棋子,通过实验发现:最后剩下的也是1号;如果圆圈上只有1~8号这8枚棋子后剩下的也是1号;而2=21,4=22,8=23,…,由此可以得出一个规律:当圆圈上有2n个号码时,按题目中的取法最后剩下的一定是1号.但2011不是2的n次方,须设法使圆圈上的数是2的若干次方.因为1024是2的10次方,而2048是2的11次方,2011-1024=987.所以从2011枚棋子中去掉987枚棋子后就只剩下1024枚棋子.又因为987×2=1974,即从1开始,取走2,4,6,8,…,1974共987枚棋子后,从1974开始数:1975,1976,1977,…,2011,1,3,5,…,1971,1973,共有1024枚棋子,1024等于2的10次方.这一来,问题就变成:将这剩下的1024枚棋子按顺时针方向,依次排成一个圆圈,从1975开始,留下1975,取走1976,…,正好符合上面规律的要求.所以最后剩下的一枚棋子为开始的那枚棋子,即最初的1975号棋子.
解答:解:通过实验发现,当圆圈上有2n个号码时,按题目中的取法最后剩下的一定是1号.
因为1024是2的10次方,而2048是2的11次方,2011-1024=987.
所以从2011枚棋子中去掉987枚棋子后就只剩下1024枚棋子.又987×2=1974,
即从1开始,取走2,4,6,8,…,1974共987枚棋子后,从1974开始数:
1975,1976,1977,…,2011,1,3,5,…,1971,1973,共有1024枚棋子,1024等于2的10次方.
、将这剩下的1024枚棋子按顺时针方向,依次排成一个圆圈,从1975开始,留下1975,取走1976,…,
正好符合上面规律的要求.所以最后剩下的一枚棋子为开始的那枚棋子,
即最初的1975号棋子.
答:最后剩下的棋子最初是1975号.
点评:本题如果直接按规则操作数据较多,且规律不明显,因此可从简单的数开始,通过实验寻找规律,然后再据规律结合题是数据进行推理.
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