Question

阅读下列材料，并回答问题：
∵

1

1×2

=1-

1

2

，

1

2×3

=

1

2

-

1

3

，

1

3×4

=

1

3

-

1

4

，

1

4×5

=

1

4

-

1

5

，…
∵

1

1×3

=

1

2

（1-

1

3

），

1

3×5

=

1

2

（

1

3

-

1

5

），

1

5×7

=

1

2

（

1

5

-

1

7

），…
（1）从计算结果中找出规律，利用规律性计算

1

2

+

1

6

+

1

12

+

1

30

+

1

42

+

1

56

+

1

72

+

1

90

=______；
（2）

1

1×3

+

1

3×5

+

1

5×7

+…+

1

99×101

=______；
（3）利用类似方法，求

1

1×4

+

1

4×7

+

1

7×10

+…+

1

19×22

的值．（写出解答过程）

Answer 1

（1）

1

2

+

1

6

+

1

12

+

1

30

+

1

42

+

1

56

+

1

72

+

1

90

，
=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+

1

4

-

1

5

+

1

5

-

1

6

+

1

6

-

1

7

+

1

7

-

1

8

+

1

8

-

1

9

+

1

9

-

1

10

，
=1-

1

10

，
=

9

10

；

（2）

1

1×3

+

1

3×5

+

1

5×7

+…+

1

99×101

，
=

1

2

×（1-

1

3

）+

1

2

×（

1

3

-

1

5

）+

1

2

×（

1

5

-

1

7

）+…+

1

2

×（

1

99

-

1

101

），
=

1

2

×（1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+

1

5

-

1

7

+

1

99

-

1

101

），
=

1

2

×（1-

1

101

），
=

1

2

×

100

101

，
=

50

101

；

（3）

1

1×4

+

1

4×7

+

1

7×10

+…+

1

19×22

，
=

1

3

×（1-

1

4

）+

1

3

×（

1

4

-

1

7

）+…+

1

3

×（

1

19

-

1

22

），
=

1

3

×（1-

1

4

+

1

4

-

1

7

+…+

1

19

-

1

22

），
=

1

3

×（1-

1

22

），
=

1

3

×

21

22

，
=

7

22

．
故答案为：

9

10

，

50

101

．