【题目】已知椭圆经过点
,且离心率为
.
(1)求椭圆的方程;
(2)设分别为椭圆
的左、右焦点,不经过
的直线
与椭圆
交于两个不同的点
,如果直线
、
、
的斜率依次成等差数列,求焦点
到直线
的距离
的取值范围.
【答案】(1).(2)
.
【解析】试题分析:(1)由已知条件算出的值,得出椭圆C的方程;(2)设
,
,直线
的方程为
,代入椭圆方程中,消去
得
,由韦达定理求出
的值,利用直线
、
、
的斜率依次成等差数列,得到
,从而
,即
,化简得
,由点到直线的距离,求出
的表达式,通过借助函数
的单调性,求出
的范围。
试题解析(1)由题意,知考虑到
,解得
所以,所求椭圆C的方程为.
(2)设直线的方程为
,代入椭圆方程
,
整理得.
由,得
. ①
设,
,则
,
.
因为,所以
,
.
因为,且
,
,
所以.
因为直线AB: 不过焦点
,所以
,
所以,从而
,即
. ②
由①②得,化简得
. ③
焦点到直线
:
的距离
.
令,由
知
.
于是.
考虑到函数在
上单调递减,
所以,解得
.
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