Question

有人编了这样一个程序：从0开始，交替着做加法和乘法，做加法时，将上次的运算结果加2或加3．做乘法时，将上次的结果乘2．
请问：运用这个程序能得到2²⁰⁰⁸+2²⁰⁰⁵-2吗？

Answer 1

解：2²⁰⁰⁸+2²⁰⁰⁵-2，
=2×2²⁰⁰⁶+2×2²⁰⁰⁶+2²⁰⁰⁴+2²⁰⁰³+2²⁰⁰²+…+2，
=2×2²⁰⁰⁶+3×2²⁰⁰⁵+2×2²⁰⁰⁴+2×2²⁰⁰³+2×2²⁰⁰²+…+2，
当n=2007，则a₁-a₂₀₀₇分别为2、3、2、2…2，
因此运用这个程序能得到2²⁰⁰⁸+2²⁰⁰⁵-2．
分析：设每次加的数分别是a₁、a₂、a₃…a_n（都是2或者3），
那么最后的形式是a₁×2ⁿ+a₂×2^（n-1）+a_n×2，
或者是a₁×2^（n-1）是+a₂×2^（n-2）是+…+a_n，（按照最后是乘法还是加法分的）．
2²⁰⁰⁸+2²⁰⁰⁵-2=2×2²⁰⁰⁶+2×2²⁰⁰⁶+2²⁰⁰⁴+2²⁰⁰³+2²⁰⁰²+…+2=2×2²⁰⁰⁶+3×2²⁰⁰⁵+2×2²⁰⁰⁴+2×2²⁰⁰³+2×2²⁰⁰²+…+2，
所以只要取n=2007，然后取a₁-a₂₀₀₇分别为2、3、2、2…2就可以了．
点评：此题涉及了编程序问题，考查了学生探索规律的能力．