Question

黑板上有11个1，22个2，33个3，44个4，做以下操作：每次擦掉3个不同的数字，并且把没擦掉的第四种数字多写2个．例如：某次操作擦掉1个1，1个2，1个3，那就在写上2个4，经过若干次操作后，黑板上只剩下3个数字，而且无法继续进行操作，那么最后剩下的三个数字的乘积是

12

．

Answer 1

分析：本题属于操作问题，倒推最简单情况，黑板上只剩下3个数字，而且无法按规定继续进行操作，只有两种情况2个a，一个b，或3个a．我们根据规则进行操作，当剩下3个数字，无法继续进行操作，问题得解．

解答：解：本题列表推理如下：

最后剩下了2个2，一个3，它们的积是：
2×2×3=12；
故答案为：12．

点评：本题还可以这样解：
无论如何操作，任意两种数的个数差只有“不变”、“多3”和“少3”三种情况（如1和2的个数：要么同时减少一个，个数差不变；要么1的个数增加2个，2的个数少一个，个数差多3；要么1的个数减少1个，2的个数加2个，个数差少3）．也就是说：任意两个数的个数差，同余3．
用2的个数减去1的个数，22-11=11，11除3余2，即当数字2的个数比1的个数多时，他们的差一定是除3余2；但如果数字1的个数比2多的话，那么这个差除3余1．
根据这个特性，容易发现1和4的个数差是33，是3的倍数，即：最后剩下的1的个数和4的个数要么一样多，要么个数差3．如果1的个数为3，那么2的个数必然为2，不合题意；如果3的个数为3，而1和2不可能同时为0个，也不合题意；所以最后时，1的个数和4的个数都只能为0，而2的个数一定是2，那么3的个数就是1，所以剩下的三个数是2个2和1个3，乘积是12．