Question

在6×6的正方形棋盘格中，请填上1～36这36个自然数，使得在任意的（a），（b），（c），（d）四种形状的图形中，放置的四个数的和都是偶数．若能，请填出一例；若不能，请说明理由．

Answer 1

分析：利用反证法，假设放置的四个数的和都是偶数这种填数方法存在，然后根据4个数字的和是偶数，进行逐步找出矛盾．

解答：解：假设题设的填数法存在，那么在如右图的十字型中，由（a）有a₁+a₂+a₃+a₄是偶数；由（c）有a₁+a₃+a₄+a₅是偶数，
（a）与（c）相减得a₂-a₅是偶数，即a₂，a₅的奇偶性相同．
同理可得a₁与a₂的奇偶性相同．a₄与a₅的奇偶性相同．
因此a₁，a₂，a₄，a₅的奇偶性相同．
在这种情况下，a₃与a₁，a₂，a₄，a₅的奇偶性也相同．
这样一来，在6×6的正方形棋盘中，除去4个角上的小方格外，至少有32个数的奇偶性相同．
但1～36这36个自然数，只有18个奇数，18个偶数．矛盾．
所以题设要求的填数法不存在．

点评：解决本题利用反证法，找出这个6×6的方格中需要奇偶性相同数的个数，然后得出矛盾进而得以证明．