Question

将l，2，3…49，50任意分成l0组，每组5个数，在每组中取数值居中的那个数为“中位数”，求这l0个中位数之和的最大值及最小值．

Answer 1

分析：设10个“居中数”从小到大是a₁，a₂，a₃，…，a₉，a₁₀，它们所代表的那组数分别为第一组，第二组…，第十组．从而推出这l0个中位数之和的最大值及最小值．

解答：解：设10个“居中数”从小到大是a₁，a₂，a₃，…，a₉，a₁₀，它们所代表的那组数分别为第一组，第二组…，第十组．
a₁比第一组中两个数大，所以a₁≥3．a₂比第二组中两个数大，又比第一组的前3个数大，所以a₂≥6，依此类推，a₁₀比第十组中两个数大，又比前九组中，每一组的前3个数大，所以a₁₀≥30，因此，居中和
S≥3+6+…十30=165（1）
另一方面，a₁₀比第十组中两个数小，所以a₁₀≤50-2=48．a₉比第九组中两个数小，又比第十组的后3个数小，所以a₉≤50-5=45．依此类推：a₁比第一组中两个数小，又比后九组中，每一组的后3个数小，所以a₁≤50-9×3-2=21．因此．居中和 S≤48+45+…+21=345（2）
（1）（2）中的等号都可以成立，例如分组：
（1，2，3，49，50），（4，5，6，47，48），（7，8，9，45，46），（10，11，12，43，44），（13，14，15，41，42），（16，17，18，39，40），（19，20，21，37，38），（22，23，24，35，36），（25，26，27，33，34），（28，29，30，31，32）
使得S=165，这是最小的居中和，又如分组：
（1，2，21，22，23），（3，4，24.25，26），（5，6，27，28，29）；（7，8，30，31，32），（9，10，33，34，35），（11，12，36，37，38），（13，14，39，40，41），（15，16，42，43，44），（17，18，45，46 47），（19，20，48，49，50）
使得S=345，这是最大的居中和．
答：最大的居中和是345，最小的居中和是165．

点评：此题也可这样解答：根据题意要求和的最大值，则按从大到小的顺序排列后，将50，49，48排在一起，48作为中位数，依次得到其他的中位数，相加即可．
根据题意得：满足和的最大值的中位数分别为：48，45，42，39，36，33，30，27，24，21，
所以这10个中位数的和的最大值是48+45+42+39+36+33+30+27+24+21=345．
同理求出最小值为165．