Question

（2012?慈溪市）圆周上放有N枚棋子，如图所示，小洪先拿走B点的一枚棋子，然后沿顺时针方向每隔一枚棋子拿走两枚棋子，这样连续转了10周，9次越过A，当将要第10次越过A取走其它子的时候，小洪停下来，发现圆周上剩下20多枚棋子，若已知N是14的倍数，请精确的算出圆周上现在还有多少枚棋子．

Answer 1

分析：设圆周上余m枚棋子，因为从第九次越过A处拿走了2枚棋子，到第十次将要越过A处棋子时，小洪拿走了2m枚棋子，所以在第九次将要越过A处棋子时，圆周上有：m+2m=3m枚棋子；这样在第八次将要越过A处棋子时，圆周上有3²m枚棋子，…在第一次将要越过A处棋子时有3⁹m枚棋子，在第一次将要越过A处棋子之前，小洪拿走了2（3⁹m-1）+1枚棋子，所以原来共有N=2（3⁹m-1）+1+3²m=3¹⁰m-1枚．然后分情况讨论3²m=3¹⁰m-1必须是14的倍数满足的条件即可．

解答：解：设圆周上余m枚棋子，因为从第九次越过A处拿走了2枚棋子，到第十次将要越过A处棋子时，小李拿走了2m枚棋子，所以在第九次将要越过A处棋子时，圆周上有：m+2m=3m枚棋子；这样在第八次将要越过A处棋子时，圆周上有3²m枚棋子，…在第一次将要越过A处棋子时有3⁹m枚棋子，在第一次将要越过A处棋子之前，小李拿走了2（3⁹m-1）+1枚棋子，所以原来共有N=2（3⁹m-1）+1+3²m=3¹⁰m-1枚．
如果N=3¹⁰m-1=59049m-1是14（2×7）的倍数，那么m必须是奇数，而59049m-1=（7×8435+4）m-1=7×8435m+4m-1是7的倍数，那么4m-1就必须是7的倍数，而m=20多枚，所以m只能等于21，23，25，27，29，但是m=21，25，27，29时4m-1都不是7的倍数，只有m=23时4m-1才是7的倍数，所以当N是14的倍数，则圆周上还有23枚棋子．

点评：本题关键是根据每次取走的个数是余下的个数的2倍，得出总个数3¹⁰m-1枚，难点是分情况讨论3¹⁰m-1必须是14的倍数满足的条件．