Question

数列：

1

1

，

2

1

， 

1

2

，

3

1

 ，

2

2

，

1

3

，

4

1

，

3

2

，

2

3

，

1

4

，---中，分数

1991

1949

在这个数列中位于第

7757840

项．

Answer 1

分析：将这些分数分开看：

1

1

； 

2

1

，

1

2

；  

3

1

，

2

2

，

1

3

； 

4

1

，

3

2

，

2

3

，

1

4

；
可以发现第一组分子加分母和为2 第二组和为3，而且分子和分母的最大值是它们的和减1；
第n组的分数有：

n

1

，

n-1

2

…

2

n-1

，

1

n

；共n个．
它们的分母是从1开始的连续的自然数；它们分子和分母的和是：n+1．
先求出

1991

1949

的分子和分母的最大值，求出这个分数在第几组，再求解．

解答：解：把这些分数按照：

1

1

；

2

1

，

1

2

；

3

1

，

2

2

，

1

3

；

4

1

，

3

2

，

2

3

，

1

4

；…的方式分组．

1991

1949

分子加分母的和为：1991+1949=3940，
所以

1991

1949

是第3939组中第1949个数．
前3938组共有数：
1+2+3+4+…+3938
=（1+3938）×3938÷2
=7755891．
7755891+1949=7757840（个）．
故答案为：7757840．

点评：先找到这些分数排列的规律，再根据规律求解．