Question

16．1-2014这2014个数按逆时针的顺序排在一个圆上，从1开始，保留1消除2，保留3消除4，按这样的顺序每隔一个数消去一个数．
（1）如果由1-8这8个数，那么最后的那个数是1；
（2）如果由1-16这16个数，那么最后的那个数是1；
（3）如果有1-9这9个数，那么最后的那个数是7；
（4）如果有1-35这35个数，那么最后的那个数是7；
（5）有2014个人，请问你站在第几位是最后剩下的那个，请说明方法和理由．

Answer 1

分析 如果依照题意在上图中进行操作，直到剩下一个数为止，实在是很困难的．还应从最简单的情况入手分析，归纳出解决问题的规律，再用此规律解题．
如果是2个数1，2，最后剩下1；如果是3个数1，2，3，最后剩下3；如果是4个数1，2，3，4，最后剩下1；如果是5个数1，2，3，4，5，最后剩下3；如果是6个数1，2，3，4，5，6，最后剩下5；如果是1-7，7个数，最后剩下7；如果是1-8，8个数，最后剩下1．发现当数的个数是2，4，8时，最后剩下的都是1．实际上，当数的个数为2ⁿ时（n≥2），当消去一圈后还剩2^n-1个数，把问题化成2^n-1个数的情况．不断作下去，最后化为2个数的情况，显然最后剩下的数为1（1为起始数）．

解答 解：（1）如果由1-8这8个数，那么最后的那个数是 1；
（2）如果由1-16这16个数，那么最后的那个数是 1；
（3）如果有1-9这9个数，那么最后的那个数是 7；
（4）如果有1-35这35个数，那么最后的那个数是 7
（5）由于2¹⁰=1024，2¹¹=2048，2¹⁰＜2014＜2¹¹，
2014-1024=990．
这就是说，要剩2¹⁰个数，需要先消去990个数．按题意，每两个数消去一个数，当消去第990个数时，最后消去的数是：990×2=1980．
下一个起始数是1981，所以，最后剩下的数应是1981．
答：站在第1981位是最后剩下的那个．
故答案为：1，1，7，7．

点评 这类题目有一定的规律：如果数的个数是2ⁿ（n是自然数）个数，那么消一圈剩下2^n-1个数，消两圈剩下2^n-2个数，…消n-1圈，就剩两个数，再消一圈就是剩下安全的数．