Question

【题目】求下列图形的面积（体积）：

（1）图1中阴影部分的面积是50cm2，求环形的面积．

（2）图2中以直角梯形的高AB为轴旋转一周，求旋转体的体积．（单位：cm）

Answer 1

【答案】（1）环形的面积是157平方厘米（2）旋转体的体积为24727.5立方厘米

【解析】

试题分析：（1）大圆半径为R，小圆半径为r，阴影部分的面积为大三角形减去小三角形，连接圆心到三角形的顶点，可得：大三角形面积等于R×R÷2×2=R2；小三角形面积等于r×r÷2×2=r2．进而可得R2﹣r2=50平方厘米，环形面积为3.14×R2﹣3.14×r2=3.14×（R2﹣r2）=3.14×50=157平方厘米，从而得解；

（2）以直角梯形的高AB为轴旋转一周，旋转体为圆台，延长BA、CD相交于一点E，则旋转后变成了圆锥，根据∠C=45°可得BE（大圆锥的高）等于BC等于30厘米．

AB的长度等于从D点作到BC是垂线的长度，等于30﹣15=15厘米．AE（小圆锥的高）等于BE﹣AB=30﹣15=15厘米，这样知道底面半径和高分别计算两个圆锥的体积，大圆锥减去小圆锥即为圆台体积．

解答：解：（1）连接圆心到两个三角形的顶点可得：

大三角形面积：R×R÷2×2=R2；

小三角形面积：r×r÷2×2=r2．

因为图中阴影部分的面积是50平方厘米，所以R2﹣r2=50平方厘米，

环形面积：3.14×R2﹣3.14×r2，

=3.14×（R2﹣r2），（把R2﹣r2=50代入）

=3.14×50，

=157（平方厘米）．

答：环形的面积是157平方厘米．

（2）延长BA、CD相交于一点E，从D点作到BC是垂线，

因为∠C=45°，三角形BCE是等腰直角三角形，可得BE（大圆锥的高）等于BC等于30厘米；

AB的长度等于从D点作到BC是垂线的长度，等于30﹣15=15厘米．

AE（小圆锥的高）等于BE﹣AB=30﹣15=15厘米；

圆台面积：3.14×302×30×﹣3.14×152×15×，

=3.14×900×10﹣3.14×225×5，

=28260﹣3532.5，

=24727.5（立方厘米）．

答：旋转体的体积为24727.5立方厘米．