Question

【题目】定义运算“⊙”如下:

对于两个自然数a和b,它们的最大公约数与最小公倍数的差记为a⊙b.

比如:10和14,最小公倍数为70,最大公约数为2,则10⊙14=70-2=68.

(1)求12⊙21,5⊙15;

(2)说明,如果c整除a和b,则c也整除a⊙b;如果c整除a和a⊙b,则c也整除b;

(3)已知6⊙x=27,求x的值.

Answer 1

【答案】(1)；

(2) 如果c整除a和b,那么c是a和b的公约数,则c整除a,b的最大公约数,显然c也整除a,b最小

公倍数,所以c整除最小公倍数与最大公约的差,即c整除a⊙b.

如果c整除a和a⊙b,由c整除a推知c整除a,b的最小公倍数,再由c整除a⊙b推知,

整除a,b的最大公约数,而这个最大公约数整除b,所以 c整除b.

(3)

【解析】(1)为求12⊙21,先求出12与21的最小公倍数和最大公约数分别为84,3,

因此12⊙21=84-3=81,同样道理5⊙15=15-5=10.

(2)略

(3)由于运算“⊙”没有直接的表达式,解这个方程有一些困难,我们设法逐步缩小探索范围. 因为6与x的最小公倍数不小于27+1=28,不大于27+6=33,而28到33之间,只有30是6 的 倍数,可见

6和x的最小公倍数是30,因此它们的最大公约数是30-27=3.

由“两个数的最小公倍数与最大公约数的积=这两个数的积”,得到.

所以.