Question

（1）请从1，2，3，…，2011中找出1006个数，使得这1006个数中不存在两个数，其中一个是另一个的倍数．
（2）证明：从1，2，3，…，2011中，任意取出1007个数，其中都存在两个数，其中一个是另一个的倍数．

Answer 1

证明：由于任何一个自然数都可以表示成一个奇数与2ⁿ和乘积的形式，而且这种表示方法是惟一的．因此，我们可以按下面的方法来构造1006个抽屉：
{1，1×2，1×2²，1×2³，1×2⁴，1×2⁵，1×2⁶，1×2⁷，1×2⁸，1×2⁹，1×2¹⁰}；
{3，3×2，3×2²，3×2³，3×2⁴，3×2⁵，3×2⁶，3×2⁷，3×2⁸，3×2⁹}；
{5，5×2，5×2²，5×2³，5×2⁴，5×2⁵，5×2⁶，5×2⁷，5×2⁸}；
…；
{1005，1005×2}；
{1007}；
{1009}；
…；
{2011}．
（1）从这1006个抽屉中每个中取1个数，共取1006个数，根据抽屉原则，能够从1，2，3，…，2011中找出1006个数，使得这1006个数中不存在两个数，其中一个是另一个的倍数；（2）从这1006个抽屉中任取1007个数，根据抽屉原则，从1，2，3，…，2011中，任意取出1007个数，其中都存在两个数，其中一个是另一个的倍数．
分析：根据抽屉原理：任何一个自然数都可以表示成一个奇数与2ⁿ和乘积的形式，而且这种表示方法是惟一的．可构造1006个抽屉，从而验证这两个结论．
点评：本题是一道竞赛题，考查了抽屉原理，解决此题的关键是写出这1006个抽屉．