Question

求1～2013的自然数中最多可以取出多少个数，使得任意两数之和不能被两数之差整除？

Answer 1

考点：数的整除特征

专题：整除性问题

分析：根据题意，分析可得，若取出的数最多，则需要从1开始取，进而分析此时所取数组中相邻两数的间隔，即可得取出数字最多的这个数组，结合数列的性质，计算其数字数目即可得答案．

解答： 解：根据题意，若取出的数最多，则需要从1开始取，同时取出的数中相邻两数间隔相等且应尽量的小；
则取出的数中相邻两数不能间隔为1，此时相邻两数的差为1，不合题意，
取出的数中相邻两数间隔也不能为2，此时取出的数都为奇数或偶数，易得任意相邻两数的和为偶数，其差为2，即相邻两数之和可以被其差整除，不合题意，
当取出的数中相邻两数间隔为3时，设任意的两数为3a+1、3b+1，其和为3（a+b）+2，其差为3（a-b），易得两数之和不能被其差整除，符合题意，
即要使取出的数最多，则取出的这组数为1、4、7、10、…2011，共671；
故最多能取671个数．

点评：本题考查合情推理的运用，解题的关键是分析出所取的数字最多的1组的特征．